La afinación por Quintas
La 5ª de cualquier sonido se obtiene al multiplicar su frecuencia por 3. Sin embargo, así obtenemos su quinta pero perteneciente a una octava más aguda. Si ahora la dividimos entre dos, obtendríamos ese mismo sonido más grave, perteneciente a la misma octava de partida, en una proporción de 3/2 respecto a la fundamental. Ésta es la proporción que Pitágoras tomó como base de su sistema musical.
Si representamos estos ocho valores en un gráfico podemos observar varias particularidades de la escala:
Al unir los puntos vemos que no están todos alineados, dos de los segmentos son distintos a los otros.
En el mismo gráfico se muestran también todos los cocientes entre dos valores consecutivos. En los dos segmentos distintos el cociente es: 256/243, que resulta ser mucho menor que el de los seis restantes: 9/8.
Vemos entonces que existen cinco intervalos de mayor tamaño (un tono) y dos claramente más pequeños: entre el mi y el fa, y entre el si y el do agudo, aproximadamente de mitad de tamaño (un semitono) que los más grandes.
Una solución natural de este “desajuste” sería crear cinco “nuevas” notas intermedias en los intervalos do-re, re-mi, fa-sol, sol-la y la-si, para conseguir “equilibrarlos”. Este es el origen de las cinco teclas negras del piano.
Si observamos ahora el teclado del comienzo, vemos que entre las teclas blancas correspondientes al mi y el fa, y entre el si y el do agudo no hay ninguna tecla negra, esos son los dos únicos intervalos de semitono que encontramos en la escala natural.
De esta manera, en el sistema musical occidental, cada octava queda dividida en 12 semitonos que juntos forman la escala cromática. Estos son los 12 sonidos básicos con los que está escrita el 90% de la música que conocemos y solemos escuchar, desde el Medievo hasta nuestros días.
Curiosamente, el sistema no lo inventó Pitágoras, surgió en Europa en la Baja Edad Media, pero como es consecuencia de la idea de afinar los intervalos por quintas, seguimos hablando de afinación pitagórica.
La división en 12 sonidos, por tanto, no es una cuestión trivial ni arbitraria: parte de una base previa, con sus ventajas e inconvenientes. Sin tanto éxito, otros músicos a lo largo de toda la historia han propuesto sistemas diferentes, con una octava dividida en más sonidos.
La afinación temperada.
A pesar de que el sistema de afinación pitagórico es el único que respecta las dos consonancias principales (octavas y quintas), la incompatibilidad entre ambas daba lugar a bastantes inconvenientes.
Como alternativa se propusieron otros sistemas a lo largo de la historia pero, finalmente, el sistema que se impuso fue el sistema temperado, basado en 12 semitonos iguales y que sólo respeta la consonancia de 8ª. Todas los demás intervalos resultan ligeramente disonantes. A pesar de ello, es un sistema óptimo para la música tonal, especialmente a partir del Barroco y el Clasicismo: cada vez más llena de modulaciones (cambios de tonalidad o de “escala”), alteraciones accidentales, cromatismos (empleo consecutivo de intervalos de semitono), etcétera.
El semitono temperado: La razón de ser matemática del sistema temperado consiste en igualar los semitonos. Para ello vamos a averiguar cuánto mide el intervalo de semitono en este sistema.
Un intervalo es una proporción de frecuencias, por lo que la frecuencia de cada nota de la escala cromática, se obtendrá de multiplicar la nota anterior por la proporción (razón) correspondiente a un semitono, que por el momento llamaremos “x”.
Si queremos saber, por ejemplo, cuál es la frecuencia de do#, multiplicaremos la frecuencia de do por “x”.
Para obtener re, volveremos a multiplicar el resultado obtenido por x, (o la frecuencia de do por x²), etcétera.
Por tanto, si queremos completar una octava con 12 intervalos iguales, necesitamos un semitono tal que al multiplicarlo 12 veces consecutivas por la frecuencia base, (pongamos 1), dé como resultado una frecuencia doble, (2, el mismo sonido una octava más agudo).
Esto es: \( 1·x¹²=2 \Longrightarrow x=\sqrt [12]{2}=1,059 \) Esta es la relación de frecuencias correspondiente a un semitono temperado.
Este semitono es un valor intermedio de los dos semitonos pitagóricos.
La escala temperada: Para hallar la proporción correspondiente a cualquier otro intervalo de la escala temperada, tan sólo tendremos que elevar \(\sqrt [12]{2} \) al número de semitonos (ST) que contiene dicho intervalo.
Por poner un ejemplo, para pasar de la frecuencia de un do a la de un fa# multiplicaríamos por \( \sqrt [12]{2}^{6} \) ya que son seis los semitonos que los separan: 1: do-do#, 2: do#-re, 3: re-mib, 4: mib-mi, 5: mi-fa, 6: fa-fa#.
Numéricamente, ambos sistemas de afinación son muy parecidos. Las mayores diferencias se encuentran entre las notas alteradas, especialmente al llegar al sol#.
Sin embargo, si escuchamos la escala diatónica de los sonidos naturales, afinada según el sistema pitagórico o el temperado, resultan casi indistinguibles. La 5ª Justa temperada es casi idéntica a la pitagórica, la 3ª Mayor difiere algo más entre un sistema y otro, pero sigue siendo claramente disonante en ambos.
De esta forma se obtiene la siguiente relación entre las notas musicales y las frecuencias
