Las Matemáticas de la Escala Musical .

1. Frecuencia de un sonido

Las ondas sonoras se producen cuando un cuerpo vibra. Experimentalmente todos hemos asociado alguna vez las vibraciones de un objeto con los sonidos: al pulsar una cuerda de una guitarra, al hacer vibrar una varilla metálica sujeta por un extremo o el cambio que se produce en el ruido de un motor cuando aumenta de revoluciones.
Se llama frecuencia al número de vibraciones u oscilaciones completas efectuadas por segundo. Su unidad de medida es el “ciclo por segundo” también llamado hercio (Hz) en honor a Heinrich Rudolf Hertz.
Según sea su valor podríamos calificar un sonido como: grave, medio o agudo.
Un sonido grave corresponde a ondas sonoras con frecuencia baja mientras que los sonidos agudos se corresponden con frecuencias más altas.
Para que los humanos podamos percibir un sonido, éste debe estar comprendido en un rango de audición de 20 Hz a 20000 Hz.
Por debajo de este rango tenemos los infrasonidos y por encima los ultrasonidos. A este intervalo se le denomina rango de frecuencia audible. Cuanta más edad se tiene, este rango va reduciéndose tanto en graves como en agudos.
Algunos animales pueden oír ultrasonidos inaudibles por los seres humanos.

2. Armonía Musical

En Música, la Armonía es un concepto bastante abstracto que hace referencia al orden y la estructura interna del lenguaje musical, equivalente quizás a la sintaxis del lenguaje hablado.
Este “orden”, en la música occidental, no responde a una cuestión puramente cultural o basada en una tradición sino también a las cualidades intrínsecas del sonido y nuestra forma de percibirlo.
Una característica fundamental de la música occidental es la polifonía. Ninguna otra tradición ha cultivado hasta tal punto la combinación simultánea de distintos sonidos.
Esto llevó a descubrir que determinados sonidos, sonando a la vez, resultaban agradables, consonantes o armónicos y otros, sin embargo, resultan sumamente desagradables, disonantes o inarmónicos.
Este sencillo fenómeno es el origen de las escalas musicales que manejamos aún actualmente, el sistema tonal y los acordes.
Por ello resulta ser cierto aquello de que la música y las matemáticas están íntimamente relacionadas, pero no porque los músicos utilicen fórmulas matemáticas en su trabajo, sino porque las características del lenguaje musical occidental obedecen a cuestiones puramente acústicas, y éstas, en último término, son explicables mediante matemáticas.

3. Los griegos y las proporciones

Un intervalo es la “distancia” entre dos sonidos (por ejemplo: la distancia de do a re, es menor que la distancia de do a fa), pero es muy importante saber que, aunque auditivamente percibimos esta distancia como algo lineal (relacionada con sumas y restas), físicamente un intervalo se corresponde con la proporción entre las frecuencias de los dos sonidos (relacionada con productos y divisiones).
Y aquí viene lo mejor: cuando dicha proporción responde a un número “sencillo” (1, 2, 3, 4, 5, 6), los sonidos son consonantes, si la proporción responde a un número “raro” (1’35, 3’79), es probable que resulten disonantes.
Evidentemente se trata de una cuestión bastante más compleja, pero en principio se puede afirmar que: dos sonidos son consonantes si la proporción entre sus frecuencias es un número entero menor que 7 ó estos números multiplicados o divididos por potencias de dos: 2, 3, 4, 5, 6, 1/2, 3/2, 5/2, 1/4, 3/4, 5/4, 1/8, 3/8 etcétera. Esto, a los griegos, con el gusto que tenían por las proporciones, les fascinaba.
Evidentemente, en el siglo VI a. C., Pitágoras no disponía de un afinador para conocer la frecuencia en Hercios de un sonido, pero él fue el primero en descubrir la relación entre lo grave o lo agudo que resultaba y las características del cuerpo que lo producía (tamaño, masa, tensión).
Cuenta la leyenda que el filósofo hizo su hallazgo al pasar por una herrería al escuchar que los yunques de distintos tamaños producían sonidos diferentes.
Sin embargo, para la normalización de los “intervalos” musicales y las escalas que aún hoy en día utilizamos, utilizó un instrumento de cuerda. Pitágoras observó que cuando dividía una cuerda en proporciones exactas: la mitad, la tercera parte etc. los sonidos resultantes eran armónicos, mientras que si se desviaba de esta proporción, los sonidos resultaban disonantes.
Todos sabemos que cuanto más acortemos la cuerda más agudo resultará su sonido y viceversa. Dicho más matemáticamente, que las magnitudes: longitud de la cuerda y la frecuencia de la vibración que produce, resultan ser inversamente proporcionales. Comparando con la frecuencia del sonido que se produce al pulsar una cuerda tensa, si dividimos su longitud por la mitad producirá un sonido de doble frecuencia y si la dividimos por tres producirá un sonido cuya frecuencia es triple, etcétera.
Para los griegos, la música era la base de su filosofía pues en ella podían comprobar empíricamente que lo proporcional era bello (armónico, consonante) y lo bello era bueno. Por todo ello, la música se consideraba un estudio fundamental y un medio para la purificación del alma así como la medicina lo era para el cuerpo. En palabras de un filósofo griego: “La música es para el alma lo que la gimnasia para el cuerpo”.

4. La afinación pitagórica. El origen de la escala heptatónica.

Alguna vez os habéis preguntado por qué son así las teclas de un piano? El teclado sigue un patrón de 7 teclas blancas entre las que se intercalan 5 negras: un total de 12 teclas por octava.

Las teclas blancas corresponden a las notas de la escala natural (do, re, mi, fa, sol, la, si), las teclas negras son las notas alteradas:

do#, mib, fa#, sol#, sib (# se lee sostenido y b se lee bemol). Entre cada tecla y la siguiente, sea blanca o negra, hay siempre el mismo intervalo: un semitono (ST), la mitad de un tono (T).

Pero entonces, ¿por qué no están todas las teclas al mismo nivel?, ¿por qué algunas notas se consideran “naturales” y otras “alteradas”?, ¿por qué los tonos y semitonos se distribuyen de esa manera y no otra en la escala natural (T, T, ST, T, T, T, ST)?, ¿por qué tiene precisamente 7 notas? La respuesta, de nuevo, está relacionada con Pitágoras.

Toma una cuerda de 1 metro de longitud, ténsala y hazla vibrar. Verás que reproduce una nota musical, que será función, entre otras cosas, de su longitud. Así, cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Nosotros llamaremos “Do” a la nota que hemos reproducido con nuestra cuerda de un metro.

Ahora coge otra cuerda, y prueba a tocarla a la vez que la primera, pero variando su longitud. Si lo haces, te darás cuenta de que hay veces en que las notas producidas por las dos cuerdas suenan mejor (lo que en música se llama “consonancia”) y otras suenan peor (“disonancia”).

Viajemos a esa época y pongámonos en la piel los pitagóricos. Además, para los pitagóricos los números naturales, y especialmente los cuatro primeros (que ellos llamaban tetrakis), tenían un significado muy especial. Te puedes imaginar cuánto les llamó la atención el resultado del experimento: las tres relaciones de longitud a las que llegamos incluyen esos cuatro números, y ninguno más. A estos tres intervalos (1/2, 3/4 y 2/3) les llamaron diapasón, diatesarón y diapente respectivamente, aunque hoy en día los conocemos como octava, cuarta y quinta,

Volvamos a nuestras cuerdas, y vamos a pintar lo que teníamos hasta ahora. A las dos notas intermedias que nos han salido, en las distancias 4/3 y 3/2 les vamos a llamar “Fa” y “Sol” respectivamente. Además, para no liarnos, he llamado Do a la nota que emite la cuerda de 1 metro, y Do’ a aquella emitida por la cuerda con una longitud la mitad (1/2 m).

Lo primero que observó Pitágoras es que si la cuerda la dividíamos a la mitad se obtenía la misma nota pero más aguda, de hecho una octava más aguda, la vamos a llamar Do’.

Do (1) : 2 = Do’ (1/2)

A partir de ahí, la dividiremos y multiplicaremos sucesivamente para obtener cada nuevo sonido de la escala natural.

La mayoría de estos sonidos aparecerán en escalas más agudas, pero para obtener estos sonidos en la escala original no tenemos más que bajarles una o varias veces de octava, esto es: multiplicar su longitud por dos.

Todos los cálculos están hechos a continuación, en negrita aparecen los sonidos en la escala original, el apóstrofe(s) altos indica(n) que el sonido es de una escala más aguda.

Do (1) : 3 = Sol’ (1/3) => Sol’ (1/3) x 2 = Sol (2/3)

Do’ (1/2) :2 = Do’’ (1/4) => Do’’ (1/4) x 3 = Fa (3/4)

Do’ (1) : 5 = Mi’’ (1/5) => Mi’’ (1/5) x 2 = Mi’ (2/5) => Mi’ (2/5) x 2 =Mi (4/5)

Sol (2/3) : 3 = Re’’ (2/9) => Re’’ (2/9) x 2 = Re’ (4/9) => Re’ (4/9) x 2 = Re (8/9)

Re’ (4/9) : 3 = La’’ (4/27) => La’’ (4/27) x 2 = La’ (8/27) => La’ (8/27) x 2 = La (16/27)

Podemos observar que si hacemos 8/9 de Sol (2/3) obtenemos La (16/27) si hacemos lo mismo con La (16/27): 8/9 de La (16/27) = Si (128/243)

Para comprender esto hay que tener en cuenta que se debieron hacer muchos cálculos con estos números y los resultados siempre era alguna de estas fracciones por lo que esto llevó a los pitagóricos a suponer que no era posible encontrar otras notas musicales que fuesen consonantes dentro de la misma octava.

Combinando ciencia y arte (I)

 Autor: María Jaramillo

Grupo: 1º FPB

Módulo: Ciencias Aplicadas I

Objetivos: se pretende estudiar una serie de conceptos de forma transversal, como es propio de estas enseñanzas, de manera que se relacionen de forma natural como ocurre en la vida cotidiana.

Desarrollo:

Desde el Ámbito Científico - Tecnológico de la Formación Profesional Básica, dentro del módulo de Ciencias Aplicadas I, se pretende estudiar una serie de conceptos de forma transversal, como es propio de estas enseñanzas, de manera que se relacionen de forma natural como ocurre en la vida cotidiana.

En este caso se verán conceptos físicos como las ondas (longitud de onda, frecuencia, ondas unidimensionales, velocidad de propagación, etc.) y conceptos matemáticos (como las series, la proporcionalidad, las fracciones, etc.) y su relación con la música y los instrumentos musicales.

Para ello, lo primero es darles la herramienta matemática y entender dicha proporcionalidad.

Actividad

En una primera sesión se estudia las matemáticas de la escala musical. Se ve la relación directa de la armonía de los sonidos con las proporciones de números naturales sencillos entre los intervalos (distancias entre dos sonidos).

Además, se estudia que la longitud de una cuerda de un instrumento musical y la frecuencia de la vibración que produce, resultan ser inversamente proporcionales.

Se explica la afinación pitagórica: si tenemos una cuerda y la hacemos vibrar, producirá un sonido, una nota musical. Lo primero que observó Pitágoras es que si la cuerda la dividía a la mitad se obtenía la misma nota pero más aguda, de hecho una octava más aguda. Así, las divisiones o multiplicaciones de estas cuerdas por relaciones de números sencillos, son precisamente las que daban sonidos armónicos.

¿Qué es el sonido?

El sonido es una sensación auditiva producida por las vibraciones de los objetos, estas vibraciones se transmiten en forma de onda sonora por el aire, llegan al oído y de éste al cerebro y es cuando escuchamos.

1. Características o cualidades del sonido.

La altura es la característica que nos permite diferenciar un sonido agudo de uno grave. La altura viene producida por el número de vibraciones por segundo, así a mayor número de vibraciones por segundo más agudo es el sonido, y a menor número de vibraciones más grave es el sonido.

La altura viene determinada por el tamaño: cuanto más grande sea un instrumento más grave será el sonido que produzca, cuanto más pequeño más agudo será el sonido. La longitud: cuanto más larga sea una cuerda más grave es el sonido, cuanto más corta más agudo, por eso hay instrumentos que tienen cuerdas de diferente longitud. También cuanto más largo sea el tubo de un instrumento de viento, más grave será su sonido y cuanto más corto más agudo. La tensión, cuanto más tensa esté una cuerda, más agudo es el sonido y cuanto menos tensa, más grave. La presión, a mayor presión del aire más agudo será el sonido y viceversa. Otros aspectos a tener en cuenta serán el grosor (de las cuerdas), el diámetro (del tubo), etc. La sucesión de sonidos de diferentes alturas nos da la melodía.

La duración es la característica del sonido que nos permite diferenciar sonidos largos de sonidos cortos. La podemos definir como el tiempo de permanencia de un sonido. La sucesión de sonidos de distinta duración nos da el ritmo.

La intensidad es la característica que nos permite diferenciar sonidos fuertes de sonidos flojos. La podemos definir como la fuerza con la que se produce un sonido. La intensidad depende de la amplitud o tamaño de las ondas sonoras.

El timbre es la característica que nos permite diferenciar un instrumento de otro. El timbre depende del material con que está hecho un instrumento, (no suena igual un tambor de madera que uno de metal o de plástico), de cómo se produce el sonido (soplando, golpeando, etc), de la forma del instrumento, etc.

2. ¿Cómo se produce la música que escuchamos? ¿Por qué sus sonidos nos resultan agradables?

La primera pregunta, tiene mucho que ver con la ciencia y la tecnología. La segunda, es en realidad la más difícil, porque entran muchos factores subjetivos ya que a todos no nos gusta la misma música. Pero, saber un poco más sobre el sonido desde el punto de vista físico ayuda, un poco, a entender qué factores entran en el placer que nos da la música, ese encadenamiento de sonidos que podemos llegar a disfrutar tanto.

Intentemos entender lo más simple

Estamos rodeados de sonidos, los escuchamos constantemente. Desde el punto de vista de la física, el sonido se compone de pequeñas variaciones en la presión del aire que nos rodea. Estas variaciones de presión llegan a nuestro oído viajando a través del aire, el oído las detecta, se analizan utilizando varios mecanismos complejos en el oído interno y el cerebro, hasta que nos damos cuenta: esa es la voz de alguien, o sonó el timbre o suena un instrumento musical.

El sonido viaja desde su fuente, sea una voz, un ruido o un instrumento musical, en forma de una onda que se propaga por el aire.

Estamos acostumbrados a pensar que el sonido nos llega de modo instantáneo porque la velocidad es, aproximadamente, 343,2 metros por segundo (un poco más que mil kilómetros por hora). Así, sólo se percibe un retardo cuando el sonido se produce muy lejos. Por eso, se ve el relámpago antes de oír el trueno.

No cualquier variación de presión repetida se escucha como sonido. Para que sean percibidas como sonido, las variaciones de presión, deben ser bastante rápidas, tienen que repetirse más de 16 veces por segundo, por lo menos. Pero si son demasiado rápidas, dejan de escucharse también.

Si la variación es muy rápida, más de 16.000 (dieciséis mil) veces por segundo, nuestro oído no la detecta, aunque pueden ser oídos por los perros, o los murciélagos que pueden percibirlos. Estos llamados ultrasonidos pueden ser detectados por aparatos de medición y se utilizan en algunos dispositivos como los ecógrafos.

En la música, la frecuencia tiene mucho que ver con la nota musical que se produce. Es lo que fija la nota musical que estamos escuchando.

Lo que se escucha es muy distinto según la frecuencia de la vibración. Por ejemplo, un sonido que suene a 50 ciclos por segundo, (o sea que las variaciones de presión se repiten 50 veces en un segundo) se escucha como un sonido muy grave, como un zumbido que es lo que se oye, a veces, en aparatos eléctricos.

Un sonido que identificamos enseguida como más agudo que el anterior, por ejemplo, se oye cuando la vibración es a 440 ciclos por segundo. Ésta es la frecuencia normal en el tono de teléfono libre, el que se oye antes de discar. También, en música, se usa este sonido. Por convención se fija la frecuencia de la nota musical LA en 440 Hertz y se fija como patrón, el que se usa para ajustar la nota de todos los instrumentos. Se llama a esta nota musical el LA 440 porque, justamente, lo produce algo que vibra 440 veces por segundo.

Para que una nota musical sea reconocida, debe tener una nota definida. Usando notas puras, se puede construir una escala musical. Los músicos y los físicos utilizan, a menudo, lenguajes diferentes para referirse a cosas muy parecidas. Mientras un físico hablaría de la frecuencia del sonido, el músico la llamaría altura, y los sonidos graves serían bajos (para el físico de baja frecuencia) mientras que los agudos serían altos (de alta frecuencia).

Esta escala suena diferente que lo mismo tocado en guitarra porque los sonidos no son frecuencias puras. Es como si varias frecuencias puras sonaran a la vez. Deberíamos imaginarnos que hay una frecuencia pura que suena con más volumen y, luego, la acompañan otras, más agudas, pero con menor volumen que son los llamados armónicos de la nota principal.

La composición de los armónicos que mencionamos es lo que origina la característica del sonido que los músicos llaman el timbre. Cuando uno dice que el timbre de una guitarra y un piano o una flauta son distintos, es porque cada nota que emiten va acompañada con diferentes armónicos, producidos por la forma en que está construido el instrumento.

Aunque también hay una diferencia que notamos en cómo crece el sonido de cada nota, cuánto dura y cómo decae. Eso lo identificamos y tiene que ver con la forma en que se produce el sonido. En la flauta la nota se mantiene pareja mientras sople el flautista, puede durar todo lo que dure el aire en sus pulmones. En la guitarra, una vez que se soltó la cuerda, el sonido sólo puede ir disminuyendo. En el violín pueden pasar las dos cosas.

Y no hace falta ningún entrenamiento para reconocer a las personas por su voz. Esto lo hace milagrosa y prácticamente, nuestro cerebro sin esfuerzo. Una parte importante de la información que usamos es, justamente, esta habilidad del oído y cerebro de analizar los armónicos que vibran en cualquier sonido complejo.

Vimos hasta aquí las características de los sonidos. Estos tres elementos: altura, intensidad y timbre, se tienen que combinar para producir música. La esencia de la música está en la variedad. En última instancia lo que se quiere transmitir es alguna forma de mensaje musical y, para eso, hace falta variedad en las notas y los timbres de los diferentes instrumentos, por eso es que los instrumentos de la orquesta tienen formas y tamaños tan variados. Más variedad permite mensajes más ricos y complejos.

Introducción al proyecto Luthier Científico

 

Luthier-Científico

Otro curso más seguimos con el proyecto Luthier-Científico, el cual no se pudo terminar durante el pasado curso por la cancelación de las clases como consecuencia del estado de alarma declarado.

Este curso trataremos de llevarlo a buen puerto pese a las medidas de seguridad para evitar el contagio de la COVID-19.

     En el currículo de 2º de ESO de la materia de Música se estudian los instrumentos musicales, su forma y características. Del mismo modo y para este mismo nivel académico en la materia de Tecnología se estudian instrumentos y técnicas de medición y de representación gráfica. Como este estudio no deja de ser multidisciplinar pues es necesario el conocimiento de la geometría, las proporciones, los materiales, los proyectos técnicos, la informática, el diseño, la seguridad e higiene en el trabajo, las técnicas constructivas etc. Se pretende hacer este estudio de forma colaborativa entre tres materias Música, Matemáticas y Tecnología.

       Se pretende dar a los alumnos las herramientas necesarias para que analicen distintos instrumentos musicales y de medida, elijan uno de ellos y lo fabrique con los materiales que tenga a su alcance, primando materiales reciclados.

     Los alumnos tendrán que hacer este trabajo en grupos por lo que será necesario que los alumnos se organicen y coordinen. Deberán entregar un estudio pormenorizado de alguno de los instrumentos y fabricarlo.

        Este proyecto pretende fomentar en la ESO el trabajo por proyectos, más propio de la educación primaria e infantil, relaciona tres materias que normalmente van de forma independiente y permite ver la aplicación de las matemáticas, la tecnología y la música.

     Se incentivará el estudio de las materias de una forma aplicada permitiendo que el alumno construya sus propios instrumentos, de esta forma aprenderá a valorar el trabajo personal y en equipo, la cooperación y el respeto hacia los demás, el valor del reciclado y de la reutilización.

     El curso pasado se han incorporado a este proyecto alumnos de FP Básica y este curso repiten por la gran aceptación entre los alumnos, su formación en técnicas de soldadura y estudio de diferentes materiales lo van a utilizar para la construcción de los instrumentos. 

    El profesorado que participó el curso pasado y que van a continuar durante este curso son de los departamentos de Música, Matemáticas, Tecnología y Formación Profesional, pero además se incorporan profesores del departamento de física, pues la cercanía de ésta al ámbito de las matemáticas y el hecho de que la música no deja de se un fenómeno físico permite al profesorado participar desde su materia en el desarrollo del proyecto:

• Carlos Benítez López
• Esther Cachadiña Gutiérrez
• Fernando Cruces Fraile
• Pedro José Polo Rojas
• José Antonio Pulido Cuadrado
• Luis Miguel Rodrigo Rivero 
• Jorge Santos González 
• María José Jaramillo Vázquez
  
• M. Fernanda Cruz García 
• María de la Soledad Gálvez Morera