Las Matemáticas de la Escala Musical .

1. Frecuencia de un sonido

Las ondas sonoras se producen cuando un cuerpo vibra. Experimentalmente todos hemos asociado alguna vez las vibraciones de un objeto con los sonidos: al pulsar una cuerda de una guitarra, al hacer vibrar una varilla metálica sujeta por un extremo o el cambio que se produce en el ruido de un motor cuando aumenta de revoluciones.
Se llama frecuencia al número de vibraciones u oscilaciones completas efectuadas por segundo. Su unidad de medida es el “ciclo por segundo” también llamado hercio (Hz) en honor a Heinrich Rudolf Hertz.
Según sea su valor podríamos calificar un sonido como: grave, medio o agudo.
Un sonido grave corresponde a ondas sonoras con frecuencia baja mientras que los sonidos agudos se corresponden con frecuencias más altas.
Para que los humanos podamos percibir un sonido, éste debe estar comprendido en un rango de audición de 20 Hz a 20000 Hz.
Por debajo de este rango tenemos los infrasonidos y por encima los ultrasonidos. A este intervalo se le denomina rango de frecuencia audible. Cuanta más edad se tiene, este rango va reduciéndose tanto en graves como en agudos.
Algunos animales pueden oír ultrasonidos inaudibles por los seres humanos.

2. Armonía Musical

En Música, la Armonía es un concepto bastante abstracto que hace referencia al orden y la estructura interna del lenguaje musical, equivalente quizás a la sintaxis del lenguaje hablado.
Este “orden”, en la música occidental, no responde a una cuestión puramente cultural o basada en una tradición sino también a las cualidades intrínsecas del sonido y nuestra forma de percibirlo.
Una característica fundamental de la música occidental es la polifonía. Ninguna otra tradición ha cultivado hasta tal punto la combinación simultánea de distintos sonidos.
Esto llevó a descubrir que determinados sonidos, sonando a la vez, resultaban agradables, consonantes o armónicos y otros, sin embargo, resultan sumamente desagradables, disonantes o inarmónicos.
Este sencillo fenómeno es el origen de las escalas musicales que manejamos aún actualmente, el sistema tonal y los acordes.
Por ello resulta ser cierto aquello de que la música y las matemáticas están íntimamente relacionadas, pero no porque los músicos utilicen fórmulas matemáticas en su trabajo, sino porque las características del lenguaje musical occidental obedecen a cuestiones puramente acústicas, y éstas, en último término, son explicables mediante matemáticas.

3. Los griegos y las proporciones

Un intervalo es la “distancia” entre dos sonidos (por ejemplo: la distancia de do a re, es menor que la distancia de do a fa), pero es muy importante saber que, aunque auditivamente percibimos esta distancia como algo lineal (relacionada con sumas y restas), físicamente un intervalo se corresponde con la proporción entre las frecuencias de los dos sonidos (relacionada con productos y divisiones).
Y aquí viene lo mejor: cuando dicha proporción responde a un número “sencillo” (1, 2, 3, 4, 5, 6), los sonidos son consonantes, si la proporción responde a un número “raro” (1’35, 3’79), es probable que resulten disonantes.
Evidentemente se trata de una cuestión bastante más compleja, pero en principio se puede afirmar que: dos sonidos son consonantes si la proporción entre sus frecuencias es un número entero menor que 7 ó estos números multiplicados o divididos por potencias de dos: 2, 3, 4, 5, 6, 1/2, 3/2, 5/2, 1/4, 3/4, 5/4, 1/8, 3/8 etcétera. Esto, a los griegos, con el gusto que tenían por las proporciones, les fascinaba.
Evidentemente, en el siglo VI a. C., Pitágoras no disponía de un afinador para conocer la frecuencia en Hercios de un sonido, pero él fue el primero en descubrir la relación entre lo grave o lo agudo que resultaba y las características del cuerpo que lo producía (tamaño, masa, tensión).
Cuenta la leyenda que el filósofo hizo su hallazgo al pasar por una herrería al escuchar que los yunques de distintos tamaños producían sonidos diferentes.
Sin embargo, para la normalización de los “intervalos” musicales y las escalas que aún hoy en día utilizamos, utilizó un instrumento de cuerda. Pitágoras observó que cuando dividía una cuerda en proporciones exactas: la mitad, la tercera parte etc. los sonidos resultantes eran armónicos, mientras que si se desviaba de esta proporción, los sonidos resultaban disonantes.
Todos sabemos que cuanto más acortemos la cuerda más agudo resultará su sonido y viceversa. Dicho más matemáticamente, que las magnitudes: longitud de la cuerda y la frecuencia de la vibración que produce, resultan ser inversamente proporcionales. Comparando con la frecuencia del sonido que se produce al pulsar una cuerda tensa, si dividimos su longitud por la mitad producirá un sonido de doble frecuencia y si la dividimos por tres producirá un sonido cuya frecuencia es triple, etcétera.
Para los griegos, la música era la base de su filosofía pues en ella podían comprobar empíricamente que lo proporcional era bello (armónico, consonante) y lo bello era bueno. Por todo ello, la música se consideraba un estudio fundamental y un medio para la purificación del alma así como la medicina lo era para el cuerpo. En palabras de un filósofo griego: “La música es para el alma lo que la gimnasia para el cuerpo”.

4. La afinación pitagórica. El origen de la escala heptatónica.

Alguna vez os habéis preguntado por qué son así las teclas de un piano? El teclado sigue un patrón de 7 teclas blancas entre las que se intercalan 5 negras: un total de 12 teclas por octava.

Las teclas blancas corresponden a las notas de la escala natural (do, re, mi, fa, sol, la, si), las teclas negras son las notas alteradas:

do#, mib, fa#, sol#, sib (# se lee sostenido y b se lee bemol). Entre cada tecla y la siguiente, sea blanca o negra, hay siempre el mismo intervalo: un semitono (ST), la mitad de un tono (T).

Pero entonces, ¿por qué no están todas las teclas al mismo nivel?, ¿por qué algunas notas se consideran “naturales” y otras “alteradas”?, ¿por qué los tonos y semitonos se distribuyen de esa manera y no otra en la escala natural (T, T, ST, T, T, T, ST)?, ¿por qué tiene precisamente 7 notas? La respuesta, de nuevo, está relacionada con Pitágoras.

Toma una cuerda de 1 metro de longitud, ténsala y hazla vibrar. Verás que reproduce una nota musical, que será función, entre otras cosas, de su longitud. Así, cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Nosotros llamaremos “Do” a la nota que hemos reproducido con nuestra cuerda de un metro.

Ahora coge otra cuerda, y prueba a tocarla a la vez que la primera, pero variando su longitud. Si lo haces, te darás cuenta de que hay veces en que las notas producidas por las dos cuerdas suenan mejor (lo que en música se llama “consonancia”) y otras suenan peor (“disonancia”).

Viajemos a esa época y pongámonos en la piel los pitagóricos. Además, para los pitagóricos los números naturales, y especialmente los cuatro primeros (que ellos llamaban tetrakis), tenían un significado muy especial. Te puedes imaginar cuánto les llamó la atención el resultado del experimento: las tres relaciones de longitud a las que llegamos incluyen esos cuatro números, y ninguno más. A estos tres intervalos (1/2, 3/4 y 2/3) les llamaron diapasón, diatesarón y diapente respectivamente, aunque hoy en día los conocemos como octava, cuarta y quinta,

Volvamos a nuestras cuerdas, y vamos a pintar lo que teníamos hasta ahora. A las dos notas intermedias que nos han salido, en las distancias 4/3 y 3/2 les vamos a llamar “Fa” y “Sol” respectivamente. Además, para no liarnos, he llamado Do a la nota que emite la cuerda de 1 metro, y Do’ a aquella emitida por la cuerda con una longitud la mitad (1/2 m).

Lo primero que observó Pitágoras es que si la cuerda la dividíamos a la mitad se obtenía la misma nota pero más aguda, de hecho una octava más aguda, la vamos a llamar Do’.

Do (1) : 2 = Do’ (1/2)

A partir de ahí, la dividiremos y multiplicaremos sucesivamente para obtener cada nuevo sonido de la escala natural.

La mayoría de estos sonidos aparecerán en escalas más agudas, pero para obtener estos sonidos en la escala original no tenemos más que bajarles una o varias veces de octava, esto es: multiplicar su longitud por dos.

Todos los cálculos están hechos a continuación, en negrita aparecen los sonidos en la escala original, el apóstrofe(s) altos indica(n) que el sonido es de una escala más aguda.

Do (1) : 3 = Sol’ (1/3) => Sol’ (1/3) x 2 = Sol (2/3)

Do’ (1/2) :2 = Do’’ (1/4) => Do’’ (1/4) x 3 = Fa (3/4)

Do’ (1) : 5 = Mi’’ (1/5) => Mi’’ (1/5) x 2 = Mi’ (2/5) => Mi’ (2/5) x 2 =Mi (4/5)

Sol (2/3) : 3 = Re’’ (2/9) => Re’’ (2/9) x 2 = Re’ (4/9) => Re’ (4/9) x 2 = Re (8/9)

Re’ (4/9) : 3 = La’’ (4/27) => La’’ (4/27) x 2 = La’ (8/27) => La’ (8/27) x 2 = La (16/27)

Podemos observar que si hacemos 8/9 de Sol (2/3) obtenemos La (16/27) si hacemos lo mismo con La (16/27): 8/9 de La (16/27) = Si (128/243)

Para comprender esto hay que tener en cuenta que se debieron hacer muchos cálculos con estos números y los resultados siempre era alguna de estas fracciones por lo que esto llevó a los pitagóricos a suponer que no era posible encontrar otras notas musicales que fuesen consonantes dentro de la misma octava.